视觉SLAM14讲

3 三维空间刚体运动

按照表示方法分类

旋转矩阵可以从单位正交基中简单得出。现在有一个向量 $x$ ,他可以被表示为正交基乘以坐标

$[ e 1 e 2 e 3 ] ⎣ ⎡ a 1 a 2 a 3 ⎦ ⎤ = [ e 1 ' e 2 ' e 3 ' ] ⎣ ⎡ a 1 ' a 2 ' a 3 ' ⎦ ⎤ $

左乘transpose得到单位矩阵，那么就能得到 $a = R a ' $ 的形式，其中 $R$ 是：

$ ⎣ ⎡ e 1 T e 1 ' e 2 T e 1 ' e 3 T e 1 ' e 1 T e 2 ' e 2 T e 2 ' e 3 T e 2 ' e 1 T e 3 ' e 2 T e 3 ' e 3 T e 3 ' ⎦ ⎤ $

一个旋转矩阵是一个正交矩阵，所以他的Tranpose等于他的inverse。构成一个特殊正交群 SO(n)

TODO: 书中没有给证明，如何证明

一个旋转矩阵+平移可以给出任意一个空间中的刚体变换，形式如下：

$a ' = R a + t$

两个旋转+平移的表达式不是线性的，所以要更换一种表达方式，把平移给加到矩阵当中：

$[ R 0 T t 1 ]$

旋转向量已经非常偏向四元数了，从旋转向量到旋转矩阵需要使用罗德里格斯公式进行推导，还涉及到特征值和特征向量的知识。先给出两个结论公式

R = cos\theta I + (1-cos\theta) n n^T + sin\theta n^{反变换}

$θ = a r c c o s (\frac{ t r ( R ) - 1 }{ 2 })$

我最喜欢的row pitch yaw，记得当时还在质疑为啥不使用欧拉角进行坐标变换，看了这本书才知道是因为会遇见Gimbal Lock的现象。Intuitively, 在一个旋转角为90度时，会缺少一个自由度。

同时，注意到欧拉角要事先规定很多东西，比如是固定轴还是旋转轴。

到了我最喜欢的四元数了，四元数自由度只有4，但是能不带奇异性地解决所有旋转表示。建议直接看3B1B视频：

然后再去他们的interactive video玩一下111

注意到四元数和欧拉公式的关系，可以发现他基本就是一个四维的欧拉公式，然后由于一维表示角度，三维有奇异性，所以用四维的标准圆进行一个投影，然后就能表示一个三位的旋转。

后面再说